Boolean alijebra. alijebra ny lojika. Singa matematika lojika

Eto amin'ity izao tontolo izao isika dia miha-mampiasa milina isan-karazany sy ny fitaovana. Ary raha tsy rehefa tsy dia ilaina ny mampihatra hery mahery noho ny olombelona ara-bakiteny: hanosika ny enta-mavesatra mba hanangana azy ho any amin'ny avo, mihady lalina lava sy sehatra-sariety, sns Cars ankehitriny manangona milina, sakafo masaka Multivarki sy fototra rafitrisa kajikajy mamokatra kajy, ... More ary matetika kokoa isika no mandre ny teny hoe "Boolean alijebra". Angamba tonga ny fotoana mba hahatakatra ny andraikitry ny olombelona eo amin'ny famoronana ny milina sy ny milina ny fahafahana hamaha tsy matematika, fa koa lojika olana.

lojika

Amin'ny teny grika lojika - ny baiko rafitra hevitra izay mahatonga ny fifandraisana misy eo amin'ny nomena fepetra sy mamela anao hanao inferences miorina amin'ny tombantombana sy ny vinavina. Matetika, mangataka samy hafa: "Tsy mitombina ny" Ny valin-manamafy ny tombantombana na manakiana ny lamasinina hevitra. Fa ny dingana tsy mijanona any: manohy ny miresaka.

Indraindray ny isan'ny fepetra (fahan'ny) tena lehibe, sy ny fifandraisana misy eo aminy dia toy izany mampisafotofoto sy sarotra fa ny atidoha dia tsy afaka "mandevon-kanina" indray mandeha. Mety mila mihoatra ny iray volana (herinandro, taona) ho amin'ny fahatakarana ny zava-mitranga. Ny fiainana ankehitriny, fa tsy manome antsika ireo fizaram-potoana hanaovana fanapahan-kevitra. Ary izahay hampiasa ny fanampian'ny ordinatera. Ary izany eto fa misy ny alijebra sy ny lojika, sy ny lalàna sy ny fananana. Rehefa avy downloading rehetra tahirin-kevitra tany am-boalohany, dia mamela ny solosaina mba hamantatra fifandraisana rehetra, hanafoana ny fifanoheran-kevitra sy hahita vahaolana mahafa-po.

Matematika sy ny lojika

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits voarafitra amin'ny rijan ny hevitry ny hoe "matematika lojika", izay asa dia mora ny mahatakatra afa-tsy kely manodidina ny manam-pahaizana. Tena mahaliana dia ny tari-dalana tsy rariny izy; ary ny afovoan'ny taonjato XIX ny matematika lojika fantatra amin'ny vitsy.

Ny be liana tamin'ny fiaraha-monina mpahay siansa Niteraka fifandirana izay ny anglisy Dzhordzh BUL Nanambara ny fikasany hametraka ny sampan'ny matematika aho tsy manana tena tsy misy azo ampiharina fampiasana. Araka ny fantatsika avy amin'ny tantara, amin'izao fotoana izao fampandrosoana mavitrika orinasa famokarana, dia lasa isan-karazany ny vondrona fanampiny milina, t. E. siansa no tena nahafantarana rehetra efa nanana fironana azo ampiharina.

Mijery mialoha, dia milaza fa ny Boolean alijebra - ny be mpampiasa indrindra eo amin'izao tontolo izao ankehitriny ampahany amin'ny matematika. Ho tahaka izany ny fandresen-dahatra Buhl very.

Dzhordzh BUL

Ny toetra mendrika ny mpanoratra manokana. Na dia nomena ny zava-misy fa tamin'ny lasa ny olona naniry teo anatrehany isika, mbola tokony homarihina fa ao amin'ny 16 taona Jaona. Buhl Nampianatra tao amin'ny sekoly tanàna, ary ny 20 taona nanokatra ny sekoly ao Lincoln. Nahay tsara dimy, mpahay matematika fiteny vahiny, ary vao nanam-potoana, dia namaky ny asan'i Newton sy Lagrange. Ary izany rehetra izany - eo amin'ny mpiasa tsotra ny zanakao!

Tamin'ny 1839, Buhl nandefa ny taratasy siansa voalohany tao amin'ny Cambridge matematika Journal. Scientist nitodika 24 taona. Boole ny asa ka liana mpikambana ao amin'ny Royal Society, tamin'ny 1844 dia nahazo ny medaly ny fandraisana anjara amin'ny fampandrosoana ny matematika fanadihadiana. Namoaka taratasy vitsivitsy izay ny singa ny matematika lojika, matematika namela ny tanora handray ny lahatsoratra ny profesora ao amin'ny College ny Cork County no voalaza. Tadidio fa ny tena Boole amin'ny fampianarana tsy.

hevitra

Amin 'ny fitsipika, Boolean alijebra dia tena tsotra. Misy fanambarana (lojika teny) izay, avy amin'ny fomba fijery ny matematika, dia afaka ihany no ho faritana amin'ny teny roa: "marina" na "diso". Ohatra, ny hazo amin'ny lohataona mamelana - ny fahamarinana, amin'ny fahavaratra dia snows - lainga. Ny hatsaran-tarehy ny matematika dia fa tsy hentitra aza ny ilana ny fampiasana isa ihany. Fa ny alijebra didim-pitsarana fanambarana tena mifanaraka amin'ny heviny tsy manam-paharoa.

Noho izany, ny alijebra ny lojika ara-bakiteny dia azo ampiasaina na aiza na aiza: ao amin'ny fandaharam-potoana sy ny fanoratana ny fampianarana, fanadihadiana vaovao mifanohitra momba ny zava-nitranga sy ny tapa-kevitra ny filaharan'ireo asa. Ny zava-dehibe indrindra - ny mahatsapa fa tsy olana ny fomba mamaritra ny fahamarinana na ny falsity ny fanambarana. Avy amin'ireo "fomba" sy ny "nahoana" tokony tsy miraharaha. Ny zava-dehibe ihany ny fanambarana ny marina: ny marina dia lainga.

Mazava ho azy, fandaharana ny asa manan-danja indrindra ao amin'ny alijebra ny lojika izay voarakitra miaraka mety famantarana sy fanehoana an'ohatra. Ary hianatra ireo - ny dikan'ny hoe mianatra ny fiteny vahiny. Tsy misy zavatra azo atao.

Hevitra fototra sy ny famaritana

Tsy niakatra ho any an lalina, isika miatrika voambolana. Noho izany, Boolean alijebra presupposes:

• fanambarana;
• lojika asa;
• andraikitra sy ny lalàna.

Fanambarana - affirmative misy fanehoan-kevitra izay azo adika roa-sarobidy. Fa efa voasoratra toy ny isa (5> 3), na namoaka teny mahazatra (elefanta - biby mampinono lehibe indrindra). Amin'ity tranga ity, ny andian-teny hoe "ny Zirafy ny vozonao dia tsy" ihany koa dia manana zo misy, afa-tsy Boolean alijebra mamaritra azy io ho toy ny "lainga."

Fanambarana rehetra dia tokony ho Mazava be, fa mba ho fototra na iombonana. Tantaran'ny mampiasa lojika fehin'aina. E. Ny didim-pitsarana fanambarana alijebra iombonana amin'ny ahitàna ny koa ny fototra lojika asa.

Boolean alijebra asa

Efa mahatsiaro isika fa ny asa ao amin'ny alijebra ny didim-pitsarana - lojika. Toy ny alijebra ny isa mampiasa ny asa rafitrisa hanampy, analana, na hampitaha ny isa, matematika lojika singa sarotra mamela hanao fanambarana, ny mandà na ny kajy ny vokatra farany.

Logic asa ny haha-ôfisialy sy ny fahatsorany ambaran'ny rijan, mahazatra anay tany rafitrisa. Properties ny Boolean alijebra equations ataovy azo atao ny firaketana sy ny kajy ny tsy fantatra. Lojika asa dia matetika ny fahamarinana ao amin'ny latabatra. Ny singa mamaritra ny andry sy ny computing hetsika izay tanterahina taminy, ka ny andalana maneho ny vokatry ny kajikajy.

Basic lojika ny asa

Ny tena fahita ao amin'ny Boolean alijebra asa dia negation (TSY), ary ny lôjika SY sy OR. Noho izany azo atao ny mamaritra saika ny dingana rehetra eo amin'ny alijebra didim-pitsarana. Nianatra amin'ny an-tsipiriany isika tsirairay amin'ny asa telo.

Ny negation (tsy) no ampiharina amin'ny singa iray monja (operand). Noho izany, ny fandidiana atao hoe unary negation. Mba hanoratra ny hevitry ny hoe "tsy A" mampiasa sariohatra toy izany: ¬A, A na A !. Amin'ny tabular mijery izany teny toy izao:

Ny asa ny fandàvana mampiavaka ny toy izany hoe: raha A marina, dia A - dia diso. Ohatra, ny volana manodidina ny tany - ny fahamarinana; Tany manodidina ny volana - lainga.

Fampitomboana sy ny lojika koa

Lojika SY fandidiana dia antsoina hoe mitohy. Inona no atao hoe? Voalohany indrindra, fa azo ampiharina amin'ny operands roa, izany hoe, I - .. mimari-droa fandidiana. Faharoa manarakaraka an'izay, afa-tsy tamin'ilay raharaha ny marina ny roa operands (na A sy B) no marina sy ny fitenenana mihitsy. Ny ohabolana, "Ny faharetana sy ezaka kely" dia midika fa lafin-javatra roa ihany no afaka manampy ny olona hiatrika ny zava-tsarotra.

sariohatra dia ampiasaina ho an'ny fandraisam-peo: A∧B, A⋅B na A && B.

Anarana iombonana dia mitovy amin'ny fampitomboana in rafitrisa. Indraindray ka ataovy hoe - mirindra fampitomboana. Raha maro ny singa ao amin'ny andalana ny latabatra, dia mahazo vokany mitovy amin'ny lojika fomba fisainany.

Disjunction dia lojika OR asa. Marina raha toa iray, fara fahakeliny ny fanambarana marina (na A na B). Ny voasoratra toy izao: A∨B, A + B na A || B. ny fahamarinana latabatra ho an'ny asa ireo dia:

Disjunction toy izany koa rafitrisa. lojika koa hetsika iray ihany no tena fameperana: 1 + 1 = 1. Fa tsaroanay fa amin'ny endrika nomerika no voafetra ho matematika lojika 0 ary 1 (izay 1 - ny fahamarinana, 0 - diso). Ohatra, ny hoe "ao amin'ny tranom-bakoka ianao dia afaka mahita ny sangan'asa na orinasa hahita tsara" dia midika hoe izay afaka mahita asa ny zavakanto, ary azo atao ny hihaona mahaliana ny olona. Mandritra izany fotoana izany, dia tsy hanapaka ny mety hisian'ny niara tanteraka ny zava-nitranga roa.

Asa sy ny lalàna

Noho izany, dia efa mahafantatra izay mampiasa ny lojika fandidiana Boolean alijebra. Asa rehetra momba ny fananan 'ny singa ny matematika lojika, ary hamela antsika nanatsotra sarotra iombonana amin'ny fanambarana. Ny tena mazava sy tsotra toa fandavana fananan'ny ny Dérivés asa. By Sampanteny no azon'ny XOR, kolaka sy ny equivalence. Araka ny efa namaky afa-tsy ny fototra asa, ary avy eo ny fananany ihany koa mihevitra azy ireo.

Associativity dia midika fa ao amin'ny fanambarana toy ny hoe "na A sy B, ary B 'dingana lisitra ny operands tsy mampaninona. Ny raikipohy voasoratra toy izao manaraka izao:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Araka ny hitanao, dia tsy manan-tsahala ny teny mpampitohy fa disjunction.

Commutativity nandresy lahatra fa ny vokatry ny teny mpampitohy na disjunction tsy miankina amin'ny izay zavatra noheverina am-piandohana;

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity mamela hamoaka fononteny mahitsizoro amin'ny teny saro-takarina lojika. Fitsipika mitovy amin'ny fanokafana parenthesis ao amin'ny fampitomboana sy ny koa in alijebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Tarika fananana sy ny Scratch, izay mety ho iray amin'ireo operands ihany koa ny algebraic mitovy amin'ny fampitomboana ny aotra na ny iray, ary koa ny vondrona:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency dia milaza amintsika fa raha somary operands roa mitovy ny vokatry ny hetsika dia tsy miova, dia afaka "manipy" ny mihoatra manasarotra operands Fandresen-dahatra. Ary ilay teny mpampitohy sy ny asa disjunction dia idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Fahazoana koa dia ahafahantsika mba hanatsorana ny mira. Hisakana ny fiasan'ireny milaza fa rehefa ny teny dia ampiharina amin'ny iray operand, hetsika iray hafa miaraka amin'ny singa mitovy ny vokany dia mitroka operand fandidiana.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

filaharan'ireo asa

Ny filaharan'ireo ny asa no zava-dehibe. Raha ny marina, toy ny alijebra, misy ny laharam-pahamehana ny asa izay mampiasa ny Boolean alijebra. Raiki-pohy azo notsorina ihany no foto-kevitra ny dikan'ny ny asa. Ambony ny manan-danja indrindra ho tsinontsinona, dia mahazo filaharana izao manaraka izao:

1. Fandavana.

2. iombonana.

3. Ny disjunction, XOR.

4. Ny ambadik'izany fanontaniana, equivalence.

Araka ny hitanao, afa-tsy ny negation ny teny mpampitohy ary tsy manana mitovy laharam-pahamehana. Ny laharam-pahamehana ny disjunction sy ny XOR dia mitovy, ary koa ny laharam-pahamehana ny kolaka sy ny equivalence.

Asa amin'ny ambadik'izany fanontaniana sy ny equivalence

Araka ny voalazanay, ankoatry ny fototra lojika asa, matematika lojika sy ny teoria ny algorithms mampiasa Dérivés. Matetika indrindra dia ny tian'ny sy ny equivalence.

Na ny lojika ny tian'ny vokany - ity fanambarana ity, izay zavatra iray dia toe-javatra, ary ny iray - ny vokatry ny ny fampiharana. Amin'ny teny hafa, io soso-kevitra amin'ny mody hoe "raha ... dia". "Rehefa tonga ny fikajiana ny sakafo hariva." E. Fa fiara ho tightened amin'ny sled havoana. Raha tsy misy faniriana hifindra nidina avy tao an-tendrombohitra, ary avy eo dia hisintona ny sled dia tsy ilaina. Voasoratra izany: A → B na A⇒B.

Equivalence dia midika fa ny harato vokatra mitranga raha tsy rehefa roa operands marina. Ohatra, manome fomba alina ny andro avy eo (ary avy eo ihany), raha miposaka ny masoandro eo amin'ny faravodilanitra. Ao ny fiteny ny matematika lojika izany fanambarana voasoratra ho A≡B, A⇔B, A == B.

Hafa lalàna ny Boolean alijebra

Alijebra fitsarana dia hampivelatra, ary maro no liana ny mpahay siansa mba mamolavola lalàna vaovao. Ny tena malaza dia raisina postulates Scottish mpahay matematika O. De Morgan. Nahamarika izy ary nomeny toy izany ny famaritana ny fanananao ka tokony hozarainao ho akaiky negation, koa sy ny voka-droa.

Close fandavana toa manondro fa alohan'ny parenthesis tsy mandà: aza (A na B) = tsy A na B. TSY

Rehefa operand dia nandà, na inona na inona ny vidiny, momba koa:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ary farany, ny roa compensates negation mihitsy. izany hoe talohan'ny na operand negation intsony, na mitoetra iray ihany.

Ahoana no hamahana fitsapana

Logic dia midika simplification equations efa voafaritra mialoha. Toy ny ao amin'ny Lainga alijebra, dia ilaina ny maximally hanamora fepetra voalohany (mba manala ny sarotra fahan'ny asa, ary teo aminy koa), dia manomboka mitady ny valiny marina.

Ny zavatra tokony hatao mba hanatsorana? Niova fo ny Sampanteny amin'ny hetsika tsotra. Ary mandry ny fononteny mahitsy (na ny mifamadika amin'izany, mba hahatonga ny fononteny mahitsizoro mba hampihenana io singa). Ny dingana manaraka dia tokony ho hampiasa Boolean alijebra fananana amin'ny fomba fanao (hisakana ny fiasan'ireny fananana aotra ary iray, ary ny t.).

Amin'ny farany, ny mira dia tokony ahitana farafahakeliny tsy fantatra maro, miaraka amin'ny asa tsotra. Ny fomba tsotra indrindra mba hitady vahaolana, raha manao maro negatifa akaiky. Dia ny valiny dia miseho ho toy ny mitokana.