Ny tsy voafetra manontolo. Computation ny tsy voafetra integrals

Ny iray amin'ireo fototra fizarana ny matematika fandalinana dia ny calculus manontolo. Io dia miantoka tena maneran-tany ny zavatra, izay ny voalohany - dia ny mandrakizay manontolo. Position dia mijoro ho toy ny fanalahidy izay mbola ao amin'ny sekoly ambaratonga faharoa iray mampiseho mitombo isa hatrany ny fanantenana sy ny fahafahana, izay mamaritra matematika ambony kokoa.

fijery

Raha vao jerena, dia toa tokoa integral ny maoderina, loha, fa amin'ny fomba fanao raha ny fandehany fa niverina tamin'ny 1800 talohan'i JK. Home ny fomba ofisialy tany Ejipta heverina ho tsy hahatratra anay aloha porofo ny fisiany. Tsy noho ny tsy fahampiam-baovao rehetra nitoeranay napetraka fotsiny ho toy ny toe-javatra. Ary indray mandeha indray manamafy ny haavon'ny Siantifika fampandrosoana ny firenena ireo fotoana. Farany, ny asa no hita ny mpahay matematika grika fahiny, niaraka tamin'ny taonjato faha-4 avy ao amin'ny BC. Izy ireo momba ny fomba ampiasaina izay tsy voafetra integral, ny fototry ny izay mba hahita ny boky na faritra iray curvilinear endrika (telo-amin'ny lafiny roa-amin'ny lafiny fiaramanidina, tsirairay). kajy dia mifototra amin'ny foto-kevitry ny fizarana ny tany am-boalohany ho faran'izay isa votoatiny, raha toa ny boky (faritra) dia efa fantatry ny azy ireo. Rehefa mandeha ny fotoana, dia nitombo ny fomba, Archimède nampiasa azy io mba hahita ny faritra ny parabola. Similar kajy tamin'izany andro izany mba hitarika fanazaran-tena ao Shina fahiny, izay mahaleo tena tanteraka izy ireo amin'ny teny grika mpiara-siansa.

fampandrosoana

Manaraka fandrosoana ao amin'ny XI tamin'ny taonjato BC no tonga ny asan'ny Arabo manam-pahaizana "sarety" Abu Ali al-Basri, izay nanosika ny faritry ny efa fantatra, dia homarinana avy amin'ny manontolo raiki-pohy ho an'ny fikajiana ny vola ny vola sy ny ambaratonga hatramin'ny voalohany, fahefatra, fampiharana noho izany fantatry ny antsika fomba induction.
Sain'ny ankehitriny higagana ny Ejipsianina fahiny namorona ny mahagaga tsangambato tsy misy fitaovana manokana, afa-tsy noho ny an'ny tànany, nefa dia tsy misy hery very saina ny mpahay siansa ny fotoana tsy latsa-danja ny fahagagana? Raha ampitahaina amin'ny fotoam-amin'izao fotoana izao ny fiainany toa efa ho faran'izay tsotra, fa ny fanapahan-kevitra ny tsy voafetra integrals tsoahina na aiza na aiza, ary ampiasaina amin'ny fomba fanao ho an'ny fampandrosoana bebe kokoa.

Ny dingana manaraka dia natao tao amin'ny taonjato faha XVI, rehefa Italiana mpahay matematika Cavalieri nitondra saratsarahina fomba, izay naka Per Ferma. Ireo toetra roa nametraka ny fototry ny integral calculus ny maoderina, izay fantatra amin'izao fotoana izao. Nasiany ny hevitra ny fahasamihafana sy ny fampidirana, izay aloha hita ho tena voarakitra vondrona. Amin'ny ankapobeny, ny matematika tamin'izany fotoana izany dia voazarazara poti hitany misy mitokana, miaraka amin'ny fampiasana voafetra. Fomba mba hiray hina ka hahita marimaritra iraisana no hany tena amin'izao fotoana izao, noho ny aminy, ny ankehitriny matematika fanadihadiana dia nanana fahafahana mitombo sy hampivelatra.

Noho ny fandehan'ny fotoana miova ny zava-drehetra sy ny famantarana manontolo koa. Amin'ny ankapobeny, dia ny mpahay siansa, izay voatondro ao amin'ny an-dalana, ohatra, Newton Anisan'izany ny sokera kisary, izay mametraka ny integrable ny asa, na atambatra fotsiny. Io tsy fitoviana naharitra hatramin'ny taonjato XVII, rehefa nanan-tantara ho an'ny rehetra ny teoria matematika mpahay siansa fanadihadiana Gotfrid Leybnits nampiditra toy izany toetra nahazatra antsika. Elongated "S" dia tena mifototra amin'ny ity taratasy ity ny amin'ny abidy romanina, satria manondro ny isan'ny primitives. Ary ny anaran'ny azo manontolo noho ny Jakob Bernoulli, rehefa afaka 15 taona.

Ny famaritana formal

Ny tsy voafetra manontolo dia miankina amin'ny famaritana ny faran'izay tsotra, noho izany dia tsarovy ao amin'ny toerana voalohany.

Antiderivative - no mitifitra ny mifanohitra fiasan'ny ny derivative, amin'ny fampiharana izany dia antsoina hoe faran'izay tsotra. Raha tsy izany: anjara asa faran'izay tsotra ny D - dia asa D, dia ny derivative <=> V V '= and. Search faran'izay tsotra dia ny kajy ny tsy voafetra integral, ary ny fomba atao hoe fampidirana mihitsy.

ohatra:

Ny asa s (y) = Y ^3, ary ny faran'izay tsotra S (y) = (y ^4/4).

Ny napetraka ny rehetra primitives ny asa - izany dia tsy voafetra integral, ilazana azy io toy izao manaraka izao: ∫v (x) dx.

Amin'ny alalan'ny hatsaram-panahy ny zava-misy fa V (x) - ireo ihany no misy asa faran'izay tsotra tany am-boalohany, hoe mihazona: ∫v (x) dx = V (x) + C, izay C - tsy tapaka. Eo ambany jadona tsy tapaka manondro misy foana, satria ny derivative dia aotra.

fananana

Ny fananana nozakain 'ny tsy voafetra integral, indrindra mifototra amin'ny famaritana sy ny fananan' Dérivés.
Hevero ny hevi-dehibe:

• derivative manontolo ny faran'izay tsotra dia faran'izay tsotra aza miampy ny jadona foana C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivative ny manontolo ny asa dia ny asa am-boalohany <=> (∫v (x) dx) '= V (x);
• foana dia alaina avy tsy ho eo ambanin'ny famantarana manontolo <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, izay K - ny jadona;
• integral, izay nalaina avy ny isan'ny identically mitovy ny isan'ny integrals <=> ∫ (and (y) + W (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ny roa farany fananana azo nanatsoaka hevitra fa tsy voafetra integral dia Linear. Noho izany, isika: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Mba jereo ohatra ny manamboatra vahaolana integrals tsy voafetra.

Tsy maintsy mahita ny manontolo ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) = ∫3sinxdx + dx ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Avy amin'ny ohatra isika dia afaka manatsoaka hevitra fa tsy fantatrao ny fomba hamahana integrals tsy voafetra? Mahita fotsiny ny primitives! Fa ny fikarohana ny toro lalana resahina eto ambany.

Fomba sy ohatra

Mba hamahana ny integral, dia afaka hampiasa fomba manaraka ireto:

• vonona hanararaotra ny latabatra;
• fampidirana ny faritra;
• tafiditra amin'ny alalan'ny fanoloana ny miova;
• namintina ambany ny famantarana ny Differential.

latabatra

Ny tena fomba tsotra sy mahafinaritra. Amin'izao fotoana izao, dia afaka mirehareha matematika fanadihadiana tena be latabatra, izay ny teny fototra raikipohy ny integrals tsy voafetra. Amin'ny teny hafa, dia misy môdely ampy miakatra ho any aminareo, ary ianao ihany no afaka hanararaotra azy ireo. Indro ny lisitr'ireo toerana latabatra lehibe, izay azo aseho saika rehetra, ohatra, dia manana vahaolana:

• ∫0dy = C, izay C - tsy tapaka;
• ∫dy = Y + C, izay C - tsy tapaka;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, izay C - tsy tapaka, ary n - isa mitovy amin'ny firaisan-tsaina;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, izay C - tsy tapaka;
• ^{∫e Y dy = y Y + C} , izay C - tsy tapaka;
• ^{∫k Y dy = (l Y /} ln k) + C, izay C - foana;
• ∫cosydy = siny + C, izay C - tsy tapaka;
• ∫sinydy = -cosy + C, izay C - tsy tapaka;
• ∫dy / Kosy ² Y = tgy + C, izay C - foana;
• ∫dy / fahotana ² Y = -ctgy + C, izay C - foana;
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + C, izay C - tsy tapaka;
• ∫chydy = saro-kenatra + C, izay C - foana;
• ∫shydy = Chy + C, izay C - tsy tapaka.

Raha ilaina, manao dingana roa mitarika integrand ny tabular fijery sy mankafy ny fandresena. OHATRA: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) e (5x - 2) = 1/5 X ota (5x - 2) + C.

Araka ny fanapahan-kevitra dia mazava fa ohatra ny latabatra integrand tsy ampy hetsiky 5. hametraka izany isika amin'ny mifanitsy amin'io hahamaro ny 1/5 ny fanehoan-kevitra ankapobeny dia tsy niova.

Integration ny Parts

Diniho asa roa - Z (y) sy ny X (y). Tsy maintsy ho differentiable hatrany eo amin'ny sehatra. Tamin'ny fahasamihafana fananana iray isika: D (xz) = xdz + zdx. Fampidirana andaniny sy ny ankilany, dia mahazo: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Rewriting ny vokatr'izany mira, dia mahazo ny raikipohy, izay mamaritra ny fomba fampidirana ny faritra: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Nahoana no ilaina? Ny zava-misy fa ny sasany amin'ireo ohatra azo atao ny manatsotra, aoka ny hoe: mba hampihena ∫zdx ∫xdz, raha akaiky ny farany dia ho amin'ny endrika tabular. Koa, raikipohy ity dia azo ampiasaina mihoatra ny indray mandeha, fa tandrify vokatra.

Ahoana no hamahana integrals tsy voafetra toy izao:

• ilaina ny kajy ∫ (s + 1) y ^2s DS

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {Z =} S + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, Kat = y 2x} DS} = ((s + 1) f ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) f ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• dia tsy maintsy kajy ∫lnsds

∫lnsds = {Z = lns, dz = DS / s, y = S, Kat = DS} = slns - ∫s X DS / s = slns - ∫ds = slns nerlandey + C = s (lns-1) + C.

Fanoloana ny miova

Io fitsipiky ny hamahana ny tsy voafetra integrals dia tsy latsaka amin'ny fangatahana noho ny teo aloha ny roa, na dia sarotra. Ny fomba dia toy izao manaraka izao: Aoka V (x) - ny manontolo ny asa sasany V (x). Raha toa izay fotsiny manontolo in Example slozhnosochinenny avy, dia mety hahazo sahiran-tsaina sy midina ny diso lalana vahaolana. Mba hisorohana io fanao fiovana avy amin'ny miova X ho Z, izay amin'ny ankapobeny raha notsorina hoe maso foana ny Z X miankina amin'ny.

Amin'ny matematika teny, izany dia toy izao manaraka izao: ∫v (x) dx = ∫v (Y (z)) Y '(z) dz = V (z) = V (Y -1 (x)), izay X = Y ( Z) - fanoloana. Ary, mazava ho azy, no mitifitra ny mifanohitra asa Y Z = ^-1 (x) tanteraka mamaritra ny fifandraisana sy ny fifandraisana ny hiovaova. Zava-dehibe naoty - ny Differential dx voatery nosoloina vaovao Differential dz, satria ny fiovam-miova ao amin'ny tsy voafetra nosoloana integral midika izany na aiza na aiza, tsy ao an-integrand.

ohatra:

• dia tsy maintsy mahita ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

Ampiharo ny fanoloana Z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Avy eo dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Noho izany, ny fanehoan-kevitra manaraka ity, izay tena mora ny kajy:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | S ² + 2s-5 | + C;

• tsy maintsy hahita ny manontolo ∫2 ^S y ^S dx

Mba hamaha ny Avereno soratana amin'ny teny manaraka:

^{∫2 S y S DS = ∫ (} 2e) S DS.

Isika dia maneho iray = 2e (fanoloana ny tohan-kevitra io dia tsy dingana, dia mbola S), dia hanome ny toa sarotra manontolo ny fototra tabular teny:

^{∫ (2e) S DS = ∫a} S DS = ny S / lna + C = (2e) S / ln (2e) + C = 2 ^S y ^S / ln (2 + lne) + C = 2 ^S y ^S / (ln2 + 1) + C.

Mamintina ny famantarana Differential

Amin'ny ankapobeny, io fomba tsy voafetra integrals - ny kambana ny fitsipiky ny amin'ny fiovam-miova, fa zarazaraina ho samy hafa eo amin'ny dingana ny fisoratana anarana. Andeha isika handinika amin'ny an-tsipiriany.

Raha ∫v (x) dx = V (x) + C sy Y = Z (x), dia ∫v (y) dy = V (y) + C.

Mandritra izany fotoana izany tsy tokony hohadinointsika mihitsy ny fiovana misy dikany integral, eo izay:

• dx = D (x + a), ary izay - tsirairay foana;
• dx = (1 / a) e (famaky + b), izay iray - tsy tapaka indray, nefa tsy aotra;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

Raha mandinika ny tranga ankapobeny izay manao kajy ny amin'izay tsy voafetra integral, ohatra azo subsumed eo ambanin'ny ankapobeny raikipohy W '(x) dx = DW (x).

ohatra:

• dia tsy maintsy mahita ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² e (2s + 3) = (1/2) X ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online fanampiana

Amin'ny toe-javatra sasany, ny fahadisoana izay mety ho lasa na ny hakamoana, na mila fanampiana maika ianao, dia afaka mampiasa ny aterineto manosika, na ny marimarina kokoa, mba hampiasa ny fanaovana kajy integrals tsy voafetra. Na dia eo aza ny fahasarotana sy ny mahabe toa endriky ny integrals, ny fanapahan-kevitra dia manaiky ny algorithm manokana, izay mifototra amin'ny fitsipiky ny "raha tsy ... avy eo ...".

Mazava ho azy, iray tena be pitsiny toy izany ohatra ny fanaovana kajy dia tsy Mpampianatra ô, toy ny misy tranga izay ny fanapahan-kevitra tsy maintsy hahita ny naterak'izany "terena" amin'ny alalan'ny fampidirana singa sasany ao amin'izany drafitra izany, satria ny vokatra dia miharihary fomba hahatongavana. Na dia eo aza ny toetra mampiady hevitra ity fanambarana ity, marina izany, toy ny matematika, amin 'ny fitsipika, ny saro-takarina ny siansa, ary ny tanjona voalohan'ny mihevitra fa ilaina mba hanome hery ny sisin-tany. Eny tokoa, ho malamalama fihodinana-in ny fampianarana no tena sarotra ny hifindra ka nivoatra, ka aza mieritreritra hoe ohatra ny hamahana ny tsy voafetra integrals, izay nanome antsika - izany no hahavony ny fahafahana. Fa niverina ho any amin'ny lafiny ara-teknika-javatra. Raha kely indrindra dia mba hanamarinana ny kajy, dia afaka mampiasa ny fanompoana izay tsy voasoratra ho antsika. Raha misy ilaina ny mandeha ho azy kajy ny teny saro-takarina, dia tsy voatery hampiasa lehibe kokoa rindrambaiko. Tokony hihaino tsara voalohany indrindra amin'ny MatLab ny tontolo iainana.

fampiharana

Ny fanapahan-kevitra ny tsy voafetra integrals Raha vao jerena toa tafasaraka tanteraka amin'ny zava-misy tanteraka, satria sarotra ny mahita ny mazava fampiasana ny fiaramanidina. Eny tokoa, mivantana hampiasa azy ireo na aiza na aiza ianao tsy afaka, nefa dia ilaina anelanelany singa ao amin'ny dingan'ny fialana ny vahaolana ampiasaina amin'ny fampiharana. Noho izany, ny fampidirana ny fahasamihafana indray, dia toy izany no mandray anjara ao amin'ny dingan'ny famahana equations.
Kosa, ireo equations manana fiantraikany mivantana eo amin'ny fanapahan-kevitry ny olana mekanika, leha kajy sy mafana conductivity - Raha fintinina, ny zavatra rehetra mahatonga ny ankehitriny sy mamolavola ny hoavy. Tsy voafetra integral, ohatra izay efa nandinika ambony, ihany no misy dikany Raha vao jerena, toy ny lehilahy iray tena ratsy mba hanatanteraka bebe kokoa baovao hitan'ny mpahay siansa.